Новое исследование о бесконечности ломает законы математики
Если вы в детстве (далеком) соревновались, кто знает большее число, то на каком-то моменте появлялась бесконечность, которая заводила наивный детский спор в тупик (хотя кто-то мог сказать "бесконечность плюс два" или "две бесконечности" и бессмысленное соревнование продолжалось далее). На самом деле эта ситуация прекрасно иллюстрирует, как бесконечность ломает законы математики, а новое исследование (пока не рецензированное) демонстрирует деструктивную природу бесконечности с новой потрясающей и взрослой точки зрения.
Читайте также: Подробнее: Пожар произошел в Национальном центре ядерных исследований в Польше. Оно находится недалеко от Варшавы. Об этом сообщает РБК-Украина со ссылкой на RMF FM. По данным польских СМИ, Центр расположен в городе Отвоцк под Варшавой. Предварительно, там произошел взрыв газа в лаборатории, которую арендовала сторонняя компания В пожаре пострадали два человека. Детали Недалеко от Варшавы произошел пожар в центре ядерных исследований
Вполне уместно, что такой непонятный результат пришел из теории множеств: это сфера с абстрактной репутацией и часто противоречит интуиции, но без нее не обойтись. В основе теории множеств лежит поиск способа обуздать математику раз и навсегда – выяснить, что можно доказать, а что – только предположить. Для этого математикам иногда приходится искать крайние случаи: кусочки математики, где вещи настолько огромны, странны или фундаментальны, что все правила, которые мы воспринимаем как должное, начинают разрушаться.
Бесконечность — это неинтуитивная концепция, порой озадачивающая. Недостаточно сказать, например, что бесконечность – это количество натуральных чисел, потому что если это так, то сколько существует четных чисел? Сколько дробей? Сколько, если учесть иррациональные числа? Логично, что ответ на эти вопросы – тоже бесконечность, но тогда получается, что у нас есть два разных... размера бесконечности?
Оказывается, математики могут доказать, что наборы четных чисел, целых чисел и дробей имеют одинаковый размер – бесконечное число, известное как ℵ0 (произносится как "алеф-ноль"). С другой стороны, набор действительных чисел, то есть всех рациональных и иррациональных чисел, гораздо больше.
Насколько больше, это вопрос, который уже выходит за пределы того, что мы знаем и можем доказать. Это мир "кардинальных чисел' — столь больших чисел, что невозможно доказать их существование с помощью стандартных аксиом математики.
Соавтор нового исследования, математик, логик, и теоретик множеств в ICREA и Университете Барселоны в Испании Джоан Багария отмечает, что само существование "больших кардиналов" нужно постулировать как новые аксиомы. Другими словами, это нельзя доказать – лишь предположить, что это истинно, равно как мы принимаем как должное, что x = x.
Но эта позиция вне нормальных правил также делает большие кардиналы ценным инструментом для работы с более хитрыми сферами математики. По словам исследовательницы, они дают более глубокое понимание структуры и природы математической вселенной. Они позволяют доказать много новых теорем и, следовательно, решить многие математические вопросы, которые невозможно решить, используя только привычные аксиомы теории множеств.
Даже в этом нематериальном мире бесконечности, которую невозможно доказать, можно почувствовать какой-то порядок в определенной степени. Есть несколько размеров кардинальных чисел: недоступные кардиналы, измеримые кардиналы, компактные, суперкомпактные и огромные кардиналы. Но даже этот порядок рушится, если идти дальше. По словам Багария, в конце концов большие кардиналы становятся настолько сильными, что вступают в противоречие с аксиомой выбора (основополагающее понятие теории множеств).
Именно в эту все удивительнейшую иерархию вбросили новые числа. Обозначенные своими первооткрывателями как "требовательные" и "сверхтребовательные" кардиналы, они "живут в высшей части иерархии больших кардиналов". Багария отмечает, что они совместимы с аксиомой выбора и имеют очень естественные формулировки, поэтому их можно легко принять.
Проблема состоит в том, что если даже в такой контринтуитивной сфере раньше удавалось сказать, что один кардинал больше другого, то с новыми видами бесконечности это не работает. Другой автор исследования Хуан Агилера объясняет:
Как правило, большие понятия бесконечности "упорядочиваются" в том смысле, что даже если они проявляются в разных контекстах, одно всегда явно больше или меньше других. Сверхтребовательные кардиналы, кажется, отличаются. Дело не только в том, что они сами собой очень необычны – они заставляют кардиналов, которые в противном случае хорошо себя ведут, действовать неясно. Они очень странно взаимодействуют с предыдущими представлениями о бесконечности. Они усиливают другие бесконечности: кардиналы, считающиеся умеренно большими, ведут себя как гораздо большие бесконечности в присутствии сверхтребовательных кардиналов.
Это неожиданный поворот в том, что, по мнению ученых, было достаточно хорошо продуманной иерархией, и это чревато глубокими последствиями для представления бесконечности в будущем. По мнению Агилера, это свидетельствует о том, что необходимо внести некоторые изменения. Возможно, структура бесконечности сложнее, чем исследователи полагали, и это требует более глубокого и более тщательного исследования.
